Applications des identités remarquables au calcul mental

Nous allons appliquer les identités remarquables au calcul mental. Calcul rapide, facile et efficace. Calcul mental en classe, seul ou en groupe.

1. identités remarquables

Propriété (Identité remarquable n°1.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcc}
&\color{blue}{- Développement\rightarrow}&\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°1)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°2)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}&\quad(I.R.n°3)\\
&\color{blue}{ \leftarrow Factorisation – }& \\
\end{array}$$

2. Application au calcul mental

Exercice résolu 1. Calculer rapidement sans calculatrice :
1°) $A=21^2$ ;
2°) $B=19^2$
3°) $C=102\times 98$.

Décomposer le nombre à élever au carré en somme ou différence de deux nombres faciles à élever au carré. Puis appliquer l’identité remarquable appropriée.

Corrigé.
1°) Calcul de $A=21^2$.
On applique l’I.R.n°1. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
A&=&(20+1)^2\\
&=&20^2+2\times 20\times 1+1^2\\
&=&400+40+1\\
A&=&441\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; 21^2=441\; }}$

2°) Calcul de $B=19^2$.
On applique l’I.R.n°2. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
B&=&(20-1)^2\\
&=&20^2-2\times 20\times 1+1^2\\
&=&400-40+1\\
B&=&361\\
\end{array}$$
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; 19^2=361\; }}$

3°) Calcul de $C=102\times 98$.
On applique l’I.R.n°3. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
C&=&102\times 98\\
&=&(100+2)(100-2)\\
&=&100^2-2^2\\
&=&10000-4\\
C&=&9996\\
\end{array}$$
Conclusion 3. $\color{brown}{\boxed{\; 102\times 98=9996\; }}$

3. Exercices supplémentaires pour progresser

Exercice résolu 1. Calculer rapidement sans calculatrice :
1°) $A=23^2$ ;
2°) $B=19^2$
C°) $A=37^2$ ;
3°) $C=53\times 47$.

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