Applications des identités remarquables au calcul mental

Nous allons appliquer les identités remarquables au calcul mental. Calcul rapide, facile et efficace. Calcul mental en classe, seul ou en groupe.

  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. La propriété de distributivité.
  3. Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite.
  4. Les identités remarquables.
  5. Développer et réduire une expression algébrique simple.
  6. Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables.
  7. Factoriser une expression algébrique simple.
  8. Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables.
  9. Définition et propriétés de la racine carrée
  10. Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?
  11. Comment calculer une expression avec des racines carrées ?
  12. Applications des identités remarquables au calcul mental.
  13. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  14. Rendre rationnel un dénominateur.

1. identités remarquables

Propriété (Identité remarquable n°1.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcc}
&\color{blue}{- Développement\rightarrow}&\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°1)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°2)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}&\quad(I.R.n°3)\\
&\color{blue}{ \leftarrow Factorisation – }& \\
\end{array}$$

2. Application au calcul mental

Exercice résolu 1. Calculer rapidement sans calculatrice :
1°) $A=21^2$ ;
2°) $B=19^2$
3°) $C=102\times 98$.

Décomposer le nombre à élever au carré en somme ou différence de deux nombres faciles à élever au carré. Puis appliquer l’identité remarquable appropriée.

Corrigé.
1°) Calcul de $A=21^2$.
On applique l’I.R.n°1. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
A&=&(20+1)^2\\
&=&20^2+2\times 20\times 1+1^2\\
&=&400+40+1\\
A&=&441\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; 21^2=441\; }}$

2°) Calcul de $B=19^2$.
On applique l’I.R.n°2. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
B&=&(20-1)^2\\
&=&20^2-2\times 20\times 1+1^2\\
&=&400-40+1\\
B&=&361\\
\end{array}$$
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; 19^2=361\; }}$

3°) Calcul de $C=102\times 98$.
On applique l’I.R.n°3. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
C&=&102\times 98\\
&=&(100+2)(100-2)\\
&=&100^2-2^2\\
&=&10000-4\\
C&=&9996\\
\end{array}$$
Conclusion 3. $\color{brown}{\boxed{\; 102\times 98=9996\; }}$

3. Exercices supplémentaires pour progresser

Exercice résolu 1. Calculer rapidement sans calculatrice :
1°) $A=23^2$ ;
2°) $B=19^2$
C°) $A=37^2$ ;
3°) $C=53\times 47$.

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