Angle orienté d’un couple de vecteurs

3. Angles géométriques, angles orientés

Définition 3.
Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$,

soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$. Alors :
Les deux angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOA}$ sont des angles géométriques de même mesure, toujours positive : $$\widehat{AOB}=\widehat{BOA}$$
L’angle $(\vec{u};\vec{v})$ formé par les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, dans cet ordre, est un angle orienté (On tourne de $\overrightarrow{OA}$ vers $\overrightarrow{OB}$), dans le sens positif, alors que l’angle $(\vec{v};\vec{u})$ est un angle orienté, dans le sens négatif. Donc : $$\boxed{\;\;(\vec{v};\vec{u})=-(\vec{u};\vec{v})\;\;}$$ Ce qui donne : $$\boxed{\;\;( \overrightarrow{OB} ; \overrightarrow{OA})=-( \overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB})\;\;}$$

Figure : Silence, on tourne !

Théorème 1.
Soit $M$ un point quelconque du cercle trigonométrique tel que la mesure de l’angle orienté $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ soit égale à $x$ radians. On peut lui associer une famille de nombres réels de la forme $x+2k\pi$, $k\in\Z$, qui correspondent au même point $M$ du cercle trigonométrique.

AccordionDémonstration.

Si l’angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ mesure x radians. Lorsqu’on fait un tour supplémentaire, on tombe sur le même point du cercle trigonométrique et on obtient : $x+2\pi$, si on tourne dans le sens positif ou $x–2\pi$, si on tourne dans le sens négatif.

De même, si on fait $k$ tours supplémentaires dans un sens ou dans l’autre, on tombe sur le même point du cercle trigonométrique. Ce qui donne : $x+k(2\pi)$, si on tourne dans le sens positif ou $x–k(2\pi)$, si on tourne dans le sens négatif. Par conséquent, on peut résumer les deux situations en posant : $k\in\Z$.

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Définition 4.
Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que la mesure de l’angle est égale à $x$ radians. Alors, chacun des nombres associés à $x$ de la forme $x+2k\pi$, $k\in\Z$, s’appelle une mesure de l’angle orienté de vecteurs $(\vec{u};\vec{v})$.
Les valeurs $x+2k\pi$, $k\in\Z$, s’appellent les mesures associées à $x$.

EXEMPLE

Exemple résolu n°2.
Soit $x=\dfrac{\pi}{3}$ une mesure d’un angle orienté de vecteurs $(\vec{u};\vec{v})$.
1°) Donner deux mesures différentes de cette angle.
2°) Donner toutes les mesures associées de cette angle.AccordionCorrigé Exercice 2.

1°) Si $x=\dfrac{\pi}{3}$ est une mesure de l’angle $(\vec{u};\vec{v})$, alors $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi= \dfrac{7\pi}{3}$ est aussi une mesure de cet angle. De même $x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{3}$ est une mesure de l’angle $(\vec{u};\vec{v})$, et ainsi de suite$\ldots$

2°) Plus généralement, pour tout $k\in\Z$, $x+k\times2\pi=x+2k\pi$ est encore une mesure de cet angle. Par conséquent, l’ensemble de toutes les mesures associées de cette angle, est formé de toutes les valeurs $x+2k\pi$, $k\in\Z$.

3.2. La plus petite mesure positive d’un angle

Définition 5.
Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que la mesure de l’angle $(\vec{u};\vec{v})$ soit égale à $x$ radians. Alors, parmi les valeurs associés à $x$ de la forme $x+2k\pi$, $k\in\Z$, il en existe une et une seule qui appartient à l’intervalle $[0 ;2\pi[$. Cette mesure s’appelle La plus petite mesure positive de l’angle orienté.

3.2. Mesure principale d’an angle

Définition 6.
Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que la mesure de l’angle $(\vec{u};\vec{v})$ soit égale à $x$ radians. Alors, parmi les valeurs associés à $x$ de la forme $x+2k\pi$, $k\in\Z$, il en existe une et une seule qui appartient à l’intervalle $]-\pi ;\pi]$. Cette mesure s’appelle La mesure principale de l’angle orienté.

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4. Exercices résolus

Exercice résolu n°3.
Déterminer la mesure principale de l’angle $x=\dfrac{273\pi}{12}$.
Indication :
1ère méthode algébrique : Encadrement direct.
2ème mathode : Utilisation de la division euclidienne.AccordionCorrigé Exercice 3.

Soit $\alpha$ la mesure principale de cet angle. Alors, il existe un entier relatif $k$ tel que $x=\alpha+k\times2\pi$ et $-pi<\alpha\leqslant\pi$.

1ère méthode (algébrique) (qui paraît compliquée, mais elle est rigoureuse et méthodique) : On pose $\alpha=x-k\times2\pi $ et on écrit que $-\pi<\alpha\leqslant\pi$ pour déterminer un encadrement de $k$. On a alors : $$\begin{array}{lc}
&-\pi<\alpha\leqslant\pi \\
\text{donc : }&-\pi< \dfrac{273\pi}{12}-2k\pi\leqslant\pi \\
\text{donc : }&-\pi-\dfrac{273\pi}{12} < -2k\pi \leqslant\pi-\dfrac{273\pi}{12}\\
\text{donc : }&-\dfrac{285\pi}{12} <-2k\pi \leqslant-\dfrac{261\pi}{12}\\
\end{array}$$ En divisant par $-2\pi$ (attention, on divise par un nombre négatif !), on obtient :
$$ \dfrac{285}{24} \leqslant k < \dfrac{261}{24} $$ Ce qui donne : $$ 10,875 \leqslant k <11,875$$

$k$ étant un nombre entier relatif, $k\in\Z$, cette inégalité admet une seule solution : $k =11$.

Donc : $\alpha=x-2k\pi= \dfrac{273\pi}{12} -2\times11\times\pi$. Et par suite $ \alpha=\dfrac{9\pi}{12}={\color{brown}{\dfrac{3\pi}{4}}}$.

Conclusion. La mesure principale de cet angle est : $$\boxed{\;\;\alpha=\text{mp}(x)=\dfrac{3\pi}{4}\;\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $$\boxed{\;\;\alpha=135°\;\;}$$

2ème méthode (pratique, plus facile, aussi rigoureuse, mais rapide et pratique) :
On on cherche $k$ de telle sorte que $x=\alpha+2k\pi$ et $-\pi<\alpha\leqslant\pi$ :
On effectue donc la division euclidienne de $273$ par $12$. Donc : $273=12\times 22+9$.
En multipliant les deux membres par $\pi$ et en divisant par $12$, on obtient : $$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{273}{12}\pi &=\left(\dfrac{12\times22+9}{12}\right)\pi \\
\text{donc : } &\dfrac{273}{12}\pi &=22\pi + \dfrac{9\pi}{12} \\
\text{ou encore : } &x &=\dfrac{3\pi}{4}\pi \\
&x &=22\pi + \dfrac{9\pi}{12} \\
&x &=11\times 2\pi + \dfrac{3\pi}{4} \\
\end{array}$$
On retrouve le $k = 11$.
Conclusion. La mesure principale de cet angle est : $$ \boxed{\; \alpha=\text{mp}(x)= \dfrac{3\pi}{4}\pi\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $$\boxed{\;\;\alpha=135°\;\;}$$

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Exemple résolu 4.
Déterminer la mesure principale de l’angle $\dfrac{89\pi}{12}$.
Utiliser la méthode de votre choix.AccordionCorrigé Exercice 4.

Soit $\alpha$ la mesure principale de cet angle. Alors, il existe un entier relatif $k$ tel que $x=\alpha+2k\pi$ et $-pi<\alpha\leqslant\pi$.
On effectue donc la division euclidienne de $89$ par $12$. Donc : $89=12\times 7+5$.
En multipliant les deux membres par $\pi$ et en divisant par $12$, on obtient : $$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{89}{12}\pi &=\left(\dfrac{12\times7+5}{12}\right)\pi \\
\text{donc : } &x&=7\pi + \dfrac{5\pi}{12} \\
\end{array}$$ On obtient, cette fois, un multiple impair de $\pi$. Ici, $7\pi$ n’est pas un multiple entier de $2\pi$.

En écrivant : $7\pi=6\pi+\pi$, on obtient : $$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{89}{12}\pi &=7\pi + \dfrac{5\pi}{12} \\
\text{d’où : } &x &=6\pi+\pi+\dfrac{5\pi}{12} \\
\text{d’où : } &x &=\dfrac{17\pi}{12}+3\times(2\pi) \\
\end{array}$$
On obtient $\alpha= \dfrac{17\pi}{12}$. Or, $\dfrac{17\pi}{12} >\pi$. Ce n’est pas une mesure principale de $x$.
Par contre, $ 0\leqslant\dfrac{17\pi}{12}<2\pi$, donc : $\boxed{\;\dfrac{17\pi}{12}=\text{ppmp}(x)\;}$, la plus petite mesure positive de $x$.

$\bullet$ Recherche de la mesure principale de $x$.

1°) Pour déterminer la mesure principale de $x$, on peut simplement « reculer d’un tour » et écrire : $\alpha= \dfrac{17\pi}{12} -2\pi= -\dfrac{7\pi}{12} =\text{mp}(x)$. Et comme $-\pi<\dfrac{17\pi}{12}\leqslant\pi$, on a bien : $$\boxed{\;\alpha=\text{mp}(x)=-\dfrac{7\pi}{12}\;}$$
2°) On pourrait aussi écrire : $7\pi=8\pi-\pi$. Ce qui donne : $$\begin{array}{lrl}
\text{donc : } &x&=8\pi-\pi + \dfrac{5\pi}{12} \\
\text{donc : } &x &=4\times2\pi-\dfrac{12\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}\\
\text{d’où : } &x &=-\dfrac{7\pi}{12}+4\times(2\pi)\\
\end{array}$$
Conclusion. Coome $-\pi<-\dfrac{7\pi}{12}\leqslant\pi$, la mesure principale de l’angle $x=\dfrac{89\pi}{12}$ est : $$ \boxed{\; \alpha=\text{mp}(x)= -\dfrac{7\pi}{12}\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $$\boxed{\;\;\alpha=105°\;\;}$$

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