6ème – Système de numération décimale : Lire et écrire des nombres entiers jusqu’à 12 chiffres

Connaître les unités de la numération décimale pour les nombres entiers (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et les relations qui les lient.

Système d’écriture décimale pour les nombres entiers.
Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des regroupements par milliers.
Comprendre et appliquer les règles de la numération décimale de position aux grands nombres entiers (jusqu’à 12 chiffres).
Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée.

1. Écriture décimale des nombres entiers

1.1. Qu’est-ce qu’un nombre ?

Un « mot » est formé de « lettres » de l’alphabet, juxtaposées dans un certain ordre.
Il existe des mots d’une lettre, de deux lettres, de trois lettres,… etc.

Un nombre représente une quantité, une valeur, une mesure d’une grandeur, un rang ou un numéro d’ordre dans une suite d’objets. Il peut s’écrire avec des mots ou avec des chiffres.

En mathématiques, il existe plusieurs types de nombres : Les nombres entiers, les nombres décimaux, les nombres fractionnaires, les nombres relatifs (positifs ou négatifs),… etc.

Un nombre entier est un nombre qui permet de compter ou de dénombrer des objets identiques ou équivalents, chacun pour « un » on dit pour « une unité ».

EXEMPLES
$\bullet$ Dans la classe 6ème B, il y a $30$ élèves. $30$ est un nombre entier.
$\bullet$ Un pain au chocolat coûte $1,15$ €. On remarque que $1,15$ a une partie non nulle après la virgule. Donc, $1,15$ est un nombre décimal qui n’est pas un nombre entier.
$\bullet$ $5,0$ s’écrit avec une virgule, mais sa partie décimale est nulle. Donc : $5,0=5$ est un nombre entier.
$\bullet$ Le quotient de $24$ par $6$ est égal à $4$. Donc : la fraction $\dfrac{24}{6}=4$ est un nombre entier.

Vingt-six mots différents et la conjonction de coordination « et », permettent d’écrire tous les nombres entiers jusqu’à 999 milliards :
« zéro », « un », « deux », « trois », « quatre », « cinq », « six », « sept », « huit », « neuf », « dix », « onze », « douze », « treize », « quatorze », « quinze », « seize», « vingt », « trente », « quarante », « cinquante », « soixante » « cent », « mille », « million », « milliard » et enfin le mot « et ».

EXEMPLES
Voici trois nombres écrits (en toutes lettres) avec des mots :
1°) Avec l’orthographe traditionnelle, on met des traits d’union uniquement pour les nombres inférieurs à 100.
$\bullet$ Trente-et-un.
$\bullet$ Trois mille quatre cent vingt-et-un.
$\bullet$ Quinze milliards quatre cent soixante-cinq millions trois cents quatre-vingt-cinq.
2°) Avec la nouvelle orthographe, on met des traits d’union « partout » pour relier tous les mots du nombre. Par exemple : Trois-mille-quatre-cent-vingt-et-un.

Un « nombre » s’écrit souvent avec des « chiffres ».
Les dix chiffres du système décimal sont : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ et $9$.

EXEMPLES
Voici les trois nombres donnés ci-dessus, écrits avec des chiffres :
$31$ ; $3421$ et $15\; 465\; 385$

1.2. Groupement en classes

Ce système d’écriture repose sur les dix chiffres et sur l’utilisation des puissances de $10$. On l’appelle système de numération en base 10. ou système de numération décimale.

Les puissances de 10 sont : $1$ (pour les unités), $10$ (dizaines), $100$ (centaines), $1000$ (mille ou milliers), $10\,000$ (dizaines de mille),… etc.

Dans l’écriture d’un nombre entier, la position de chaque chiffre détermine sa signification et ce qu’il représente : unités, dizaines, centaines, mille, dix-mille, cent-mille,… etc.

Chaque nombre entier est découpé en groupes de trois chiffres appelés des « classes », formées à partir de la droite et séparées par un petit blanc (on dit aussi une espace). On fait une exception lorsque le nombre est composé de quatre chiffres, comme $2345$. L’espace est facultatif. Nous connaissons déjà les classes suivantes :

la classe des unités simples
La classe des mille
La classe des millions
La classe des milliards

Chaque classe est constituée de trois chiffres (c-d-u = centaines – dizaines – unités) de la classe.

Milliards Millions Mille ou Milliers Unités simples

c d u c d u c d u c d u

1 2 3 4 5 6 7 8

1.3. Comment lire et écrire un nombre en toutes lettres

EXEMPLE
Lire et écrire en toutes lettres le nombre : $59012345678$.

Corrigé
On commence par regrouper les chiffres, trois par trois, à partir de la droite.
Je lis : 8,7,6 et je mets une barre au crayon ; puis 5,4,3 et je mets une barre, puis 0,1,2 et je mets une barre, pour terminer avec 9 et 5.
J’écris le nombre avec les barres pour séparer les classes :
$$\begin{matrix} 59\color{brown}{|}012\color{brown}{|}345\color{brown}{|}678\\
\longleftarrow\;\longleftarrow\;\longleftarrow\;\longleftarrow\; \\
\end{matrix}$$
ou encore, en remplaçant les barres par un petit blanc entre les classes :
$$59\;012\;345\;678$$
Une fois le nombre découpé en classes de trois chiffres à partir de la droite, on commence à lire le nombre à partir de la gauche, classe par classe.
Conclusion.
$59\;012\;345\;678$ = $59$ milliards, $0\!\!\! /12$ millions, $345$ mille, $678$ unités ;
que j’écris ensuite en toutes lettres sans lire le $0$ à gauche dans la classe des millions :
Cinquante-neuf milliards, douze millions, trois cent quarante-cinq mille, six cent soixante-dix-huit.

1.4. Décomposer un nombre entier suivant les puissances de 10

EXEMPLE
Décomposer le nombre entier $3245$ suivant les puissances de $10$.

On rappelle que les puissances de 10 sont : $1$ (pour les unités), $10$ (dizaines), $100$ (centaines), $1000$ (unités de mille ou de milliers), $10\,000$ (dizaines de mille),… etc.

On peut utiliser plusieurs méthodes :
$3245$ = Trois mille + deux cents + quarante + cinq.

$3245$=$3$000+$2$00+$4$0+$5$.

Ce qui donne :
$3245$=$3\times$1000 + $2\times$100 + $4\times$10 + $5\times$1.

EXERCICE RÉSOLU. Faites-le vous-même !
1°) Lire le nombre : $12345678$.
2°) Écrire ce nombre en toutes lettres
3°) Écrire ce nombre entier suivant les puissances de $10$.
4°) Déterminer la position de chacun de ses chiffres.

1°) On commence par regrouper les chiffres par trois à partir de la droite. 8,7,6, je mets une barre au crayon; puis 5,4,3, je mets une barre, il reste le 2 et le 1. J’écris le nombre en laissant un petit blanc entre les classes :
$$12\;345\;678$$
$\quad\bullet$ La première classe à partir de la droite est la classe des unités.
$\quad\bullet$ La deuxième classe à partir de la droite est la classe des mille.
$\quad\bullet$ La troisième classe à partir de la droite est la classe des millions.
Ce qui donne : $12$ millions, $345$ mille, $678$.

2°) $12\;345\;678$ s’écrit en toutes lettres : Douze millions, trois cent quarante-cinq mille, six cent soixante-dix-huit.

3°) Écriture du nombre entier $12345678$ suivant les puissances de $10$.
Je commence à partir de la droite pour fixer les idées :
$12\;345\;678= 8\times 1$.
$\phantom{12\;345\;678}+7\times 10$
$\phantom{12\;345\;678}+6\times 100$
$\phantom{12\;345\;678}+5\times 1\;000$
$\phantom{12\;345\;678}+4\times 10\;000$
$\phantom{12\;345\;678}+3\times 100\;000$
$\phantom{12\;345\;678}+2\times 1\;000\;000$
$\phantom{12\;345\;678}+1\times 10\;000\;000$

Puis j’écris en ligne la décomposition demandée :
$12\;345\;678 = 1\times 10\;000\;000$ + $2\times 1\;000\;000$ + $3\times 100\;000$ + $4\times 10\;000$ + $5\times 1\;000$ + $6\times 100$ + $7\times 10$ + $8\times 1$.

4°) Dans ce nombre, à partir de la gauche, il n’y a pas de classe des milliards.

$\quad\bullet$ dans la classe des millions :
$\qquad\circ$ Il n’y a pas de chiffre des centaines de millions.
$\qquad\circ$ $1$ désigne le chiffre des dizaines de millions.
$\qquad\circ$ $2$ désigne le chiffre des unités de millions.

$\quad\bullet$ dans la classe des mille :
$\qquad\circ$ $3$ désigne le chiffre des centaines de mille.
$\qquad\circ$ $4$ désigne le chiffre des dizaines de mille.
$\qquad\circ$ $5$ désigne le chiffre des unités de mille.

$\quad\bullet$ dans la classe des unités :
$\qquad\circ$ $6$ désigne le chiffre des centaines.
$\qquad\circ$ $7$ désigne le chiffre des dizaines.
$\qquad\circ$ $8$ désigne le chiffre des unités simples.

1.5. Orthographe des nombres composés

1°) Les nombres « quatre », « cinq », « sept », « huit », « neuf », « dix », « onze », « douze », « treize », « quatorze », « quinze », « seize», « trente », « quarante », « cinquante », « soixante » et « mille » sont invariables en nombre. C’est-à-dire qu’ils ne prennent pas de « s » au pluriel. On dit par exemple :
« les onze joueurs de l’équipe de football », ou encore « Deux mille euros ».

Remarques.
a) Le mille qui correspond au « Mile » anglais, est une unité de mesure de longueur, égale à 1609,34 mètres. Dans ce sens, le « mille » est un nom commun ordinaire qui s’accorde en nombre. On écrit :

b) Le mille marin (« mille » ou « nautique », parfois on dit « mille nautique » en anglais : « Nautical mile », abréviation NM ou M) est une unité de mesure de longueur utilisée en navigation maritime et aérienne, égale par convention à 1852 mètres

2°) Les mots « vingt » et « cent » prennent un « s » au pluriel lorsqu’ils ne sont « pas suivi d’un autre nombre ». On dit qu’ils ne sont pas conjugués. On dit par exemple :
$200$ s’écrit : « Deux cents » ;
$205$ s’écrit : « Deux cent cinq » ;
$80$ s’écrit : « quatre-vingts » ;
$85$ s’écrit : « quatre-vingt-cinq » ;
$2380$ s’écrit : « Deux mille trois cent quatre-vingts ».

3°) Les mots « million » et « milliard » sont des noms communs ordinaires.

4°) On met un trait d’union pour écrire tout nombre inférieur à $100$.
Par exemple :
$\quad 45$ s’écrit « quarante-cinq » ;
$\quad 678$ s’écrit « six cent soixante-dix-huit ».

Réforme de l’orthographe

La réforme de l’orthographe (6 décembre 1990) propose de relier tous les mots dans l’écriture des nombres par des traits d’union. La motivation est de supprimer certaines confusions.

Par exemple, dans « quatre cent vingt-et-un tiers ». Doit-on écrire $20+\dfrac{}{}$

Les nombres peuvent donc être écrits en utilisant cette nouvelle orthographe, ou en utilisant l’orthographe traditionnelle.

1.6. Billion et trillion

Nous entendons parler également des nombres « Billion » et « Trillion » et qu’il y a une différence de définition entre Français et Anglais à ce sujet. De quoi s’agit-il ?

1 million = $1\;000\;000$
1 milliard = $1\;000\;000\;000$ (Neuf zéros après le 1)
[Pour les Anglais 1 milliard = “1 Billion” ! ]
1 billion = $1\;000\;000\;000\;000$ (Douze zéros après le 1)
$\qquad$ = Un million de million
$\qquad$ = Mille milliards (de sabords !)
1 billiard = $1\;000\;000\;000\;000\;000$ (Quinze zéros après le 1)
1 Trillion = $1\;000\;000\;000\;000\;000\;000$ (Dix-huit zéros après le 1).

Milliards			Millions			Mille ou Milliers			Unités simples
c	d	u	c	d	u	c	d	u	c	d	u
				1	2	3	4	5	6	7	8