6ème – Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des regroupements par milliers

Connaître les unités de la numération décimale pour les nombres entiers (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et les relations qui les lient.

  1. Connaître les unités de la numération décimale pour les nombres entiers (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et les relations qui les lient.
  2. Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des regroupements par milliers.
  3. Comprendre et appliquer les règles de la numération décimale de position aux grands nombres entiers (jusqu’à 12 chiffres).
  4. Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée.

Groupement en classes

Chaque nombre entier peut découpé en groupes de trois chiffres appelés des « classes », formées à partir de la droite et séparées par un petit blanc. On fait une exception lorsque le nombre est composé de quatre chiffres, comme $2345$. L’espace est facultatif. Nous connaissons déjà les classes suivantes :

  • la classe des unités ${}\to\cdots\times 1$
  • La classe des mille ${}\to\cdots\times 1000$
  • La classe des millions ${}\to\cdots\times 1000\;000$
  • La classe des milliards ${}\to\cdots\times 1000\;000\;000$

Chaque classe est constituée de trois chiffres (c-d-u = centaines – dizaines – unités) de la classe.

MilliardsMillionsMille ou MilliersUnités simples
cducducducdu
12345678

EXERCICES RÉSOLUS

EXEMPLE
Écrire le nombre : $12962345678$ en utilisant des groupements par milliers.

On commence par regrouper les chiffres par trois à partir de la droite. $8,7,6$, je mets une barre au crayon ; puis $5,4,3$, je mets une barre, puis $2,6,9 $, je mets une barre et terminer avec $2$ et $1$. J’écris le nombre en laissant un petit blanc entre les classes :
$$12\;|\;962\;|\;345\;|\;678$$
ou encore, sans les barres :$$12\;962\;345\;678$$
Une fois le nombre découpé en classes de trois chiffres à partir de la droite, on commence à lire le nombre à partir de la gauche, classe par classe.
$12\;962\;345\;678 = 12$ milliards $+962$ millions $+345$ mille $+678$ unités.
Donc :
$\begin{array}{rcl}
12\;962\;345\;678 &=& 12\;\color{brown}{000\;000\;000}\\
& &+962\;\color{brown}{000\;000}\\
& &+345\;\color{brown}{000}\\
& &+678\\
\end{array}$
ou encore :
$\begin{array}{rcl}
12\;962\;345\;678 &=& 12\color{brown}{{}\times1000\;000\;000}\\
& &+962\color{brown}{{}\times1000\;000}\\
& &+345\color{brown}{{}\times1000}\\
& &+678\color{brown}{{}\times1}\\
\end{array}$

Exercice résolu.
1°) Écrire le nombre : $59002845378$ en utilisant des groupements par milliers.
2°) Écrire en toutes lettres puis en chiffres le nombre suivant :
$\quad$ $A=305\times 1000\;000\;000+42 \times 1000\;000+7\times 1000+170$.

1°) On commence par regrouper les chiffres par trois à partir de la droite. 8,7,3, je mets une barre au crayon ; puis 5,4,8 et je mets une barre ; puis 2,0,0 et je mets une barre, pour terminer avec 9 et 5. J’écris le nombre en laissant un petit espace blanc entre les classes :
$$59\;|\;002\;|\;845\;|\;378$$
ou encore, sans les barres :$$59\;002\;845\;378$$
Une fois le nombre découpé en classes de trois chiffres à partir de la droite, on commence à lire le nombre à partir de la gauche, classe par classe.

$59\;002\;845\;378 = 59$ milliards $+002$ millions $+845$ mille $+378$ unités.
Donc :
$\begin{array}{rcl}
59\;002\;345\;678 &=& 59\;\color{brown}{000\;000\;000}\\
& &+002\;\color{brown}{000\;000}\\
& &+845\;\color{brown}{000}\\
& &+378\\
\end{array}$
ou encore, en supprimant les $0$ inutiles dans la classe des millions, on a :
$\begin{array}{rcl}
59\;002\;345\;678 &=& 59\color{brown}{{}\times1000\;000\;000}\\
& &+2\color{brown}{{}\times1000\;000}\\
& &+845\color{brown}{{}\times1000}\\
& &+378\color{brown}{{}\times1}\\
\end{array}$

2°a) $A=305\times 1000\;000\;000+42 \times 1000\;000+7\times 1000+170$.
$A=$ Trois cent cinq milliards, quarante-deux millions, 7 mille cent soixante-dix.
2°) $\begin{array}{rcl}
A &=& 305\color{brown}{{}\times1000\;000\;000}\\
& &+42\color{brown}{{}\times1000\;000}\\
& &+7\color{brown}{{}\times1000}\\
& &+170\color{brown}{{}\times1}\\
\end{array}$
On complète les classes à trois chiffres en ajoutant des 0 à gauche :
$\begin{array}{rcl}
A &=& 305\;\color{brown}{\text{milliards}}\\
& &+042\;\color{brown}{\text{millions}}\\
& &+007\;\color{brown}{\text{mille}}\\
& &+170\;\color{brown}{\text{unités}}\\
\end{array}$
Ce qui donne :
$$\color{brown}{A=305\;042\;007\;170}$$

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